Gabus Menger (Menger Sponge)

Ambillah sebuah kubus. Bagilah sisinya menjadi tiga dan Anda akan mempunyai sebuah kubus besar yang terdiri dari 3 x 3 x 3 = 27 kubus kecil. Buang kubus tengah dari tiap sisi dan juga kubus pusat. Sekarang kubus Anda terdiri dari 20 bagian kecil. Sekarang, anggaplah setiap 20 kubus kecil tersebut terdiri atas 27 kubus yang lebih kecil. Buang kubus tengah dari tiap sisi dan juga kubus pusat. Ulangi langkah tersebut sampai tak terhingga. Hasilnya adalah gabus Menger (Menger sponge). Bentuk ini pertama kali diperkenalkan oleh matematikawan Austria-Amerika, Karl Menger, pada tahun 1926.

Berapakah volume dari gabus Menger? Setiap kita hilangkan tiap kubus tengah dan kubus pusat, kita menghilangkan 7/27 dari volume kubus semula, menyisakan 20/27 dari volume kubus. Jika langkah tersebut diulangi terus-menerus, volume kubus terus mengecil mendekati nol. Sehingga, secara limit, volume gabus Menger adalah nol.

Berapakah luas permukaan gabus Menger? Pertanyaan ini sedikit sulit untuk dijawab, tetapi semakin bagian dalam kubus dihilangkan, maka semakin besar bagian kubus yang dapat dilihat dari luar. Maka, jika proses tersebut dilakukan terus menerus, luas permukaan gabus Menger akan menjadi tidak terhingga.

Gabus Menger merupakan contoh dari fraktal, di mana sebuah bentuk tersusun atas bentuk-bentuk serupa yang lebih kecil (self-similar) hingga tak terhingga (ad infinitum). Dinamai fraktal karena bentuk-bentuk demikian berada pada dimensi yang tidak bulat. Untuk memahami maksud dari dimensi, kita misalkan pada kubus: jika tiap sisi dibagi menjadi dua maka jumlah kubus tersebut menjadi delapan. Selanjutnya, jika dibagi tiga maka ia terbagi menjadi 27. Dengan demikian, dapat kita simpulkan kubus adalah bangun berdimensi tiga (2^3 = 8 dan 3^3 = 27). Secara matematis, dimensi dapat dicari dengan log N/log r, dengan N adalah jumlah bentuk yang lebih kecil dan r adalah faktor pembagi. Ini disebut dengan dimensi Minkowski-Bouligand.

Pada gabus Menger, dimensi tersebut tidaklah tiga sebagaimana kubus atau dua sebagaimana bangun datar. Tiap kita bagi sisinya menjadi tiga, maka di dalamnya terdapat dua puluh kubus yang lebih kecil. Kita bagi lagi menjadi tiga maka di dalamnya terdapat dua puluh kubus yang lebih kecil. Maka dapat kita hitung dimensi dari gabus Menger sebagai log 20/log 3 = 2,726833... atau dibulatkan menjadi 2,73.

Bentuk gabus Menger kokoh dan tidak berubah karena rusuknya akan tetap ada meskipun sisinya dilubangi terus-menerus. Ketika pelubangan diulangi hingga tak terhingga kali, maka yang tersisa dari kubus hanyalah dinding-dinding berlubang tanpa volume di dalamnya. Hanya tersisa permukaan dengan dinding yang telah sangat menipis.

Setiap sisi dari gabus Menger juga merupakan bentuk fraktal yang dinamakan karpet Sierpinski. Karpet Sierpinski juga mempunyai dimensi yang tidak bulat. Karpet Sierpinski sendiri secara teori mempunyai luas permukaan mendekati nol karena ia sendiri merupakan persegi yang dilubangi terus-menerus, Dimensi dari karpet Sierpinski adalah log 8/log 3 = 1,89.

Galeri

Kiri ke kanan: kubus, gabus Menger level 1, level 2, dan level 3  

Ilustrasi gabus Menger level 3 (Edmund Harriss/Visions of Numberland)

Gabus Menger level 0-4

Irisan diagonal gabus Menger level 4

Karpet Sierpinski level 0-5. Setiap muka gabus Menger
berbentuk karpet Sierpinski

Sumber

Baez, John. 1 Maret 2014. "Menger Sponge". (blogs.ams.org/visualinsight/2014/03/01/menger-sponge)

Inglis-Arkell, Esther. 5 Agustus 2011. "The Menger Sponge literally straddles the line between different dimensions". (io9.gizmodo.com/the-menger-sponge-literally-straddles-the-line-between-5827482)